Diberikan deret geometri \( 1-(a+3)+(a+3)^2-(a+3)^3+\cdots=2a+9 \) dengan \( -4 < a < -2 \). Jika \(a, -7, b\) membentuk barisan geometri baru, nilai \(2a+b = \cdots\)
- 7
- 0
- -7
- -14
- -21
(Soal SIMAK UI 2019)
Pembahasan:
Sebelum kita menentukan nilai \(a\) dan \(b\), kita coba menguji nilai \(r\) apakah deret tersebut dapat diterapkan aturan pada deret geometri tak hingga.
\begin{aligned} -1 < r < 1 \\[8pt] -1 < -(a+3) < 1 \\[8pt] -1 < a + 3 < 1 \\[8pt] -1-3 < a < 1-3 \\[8pt] -4 < a < -2 \end{aligned}
Batasan nilai \(a\) yang harus dipenuhi agar deret tersebut konvergen sesuai dengan syarat nilai \(a\) pada soal yaitu \(-4 < a < -2\) sehingga berlaku:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} \Leftrightarrow 2a+9 &= \frac{1}{-(a+3)} \\[8pt] -(2a+9)(a+3) &= 1 \\[8pt] -2a^2-6a-9a-27-1 &= 0 \\[8pt] 2a^2+15a+28 &= 0 \\[8pt] (2a+7)(a+4) &= 0 \\[8pt] a = -4 \ &\text{Tidak Memenuhi} \\[8pt] a &= -\frac{7}{2} \end{aligned}
Karena barisan \(a, -7,b\) adalah barisan geometri maka \( -\frac{7}{2}, -7, b \) sehingga diperoleh:
\begin{aligned} r &= \frac{U_2}{U_1} = \frac{-7}{-7/2} = -7 \times \left( -\frac{2}{7} \right) = 2 \\[8pt] b &= U_2 \times r = -7 \times 2 = -14 \\[8pt] 2a+b &= 2 \left( -\frac{7}{2} \right)+(-14) = -21 \end{aligned}
Jawaban E.